ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА В ОСОБЫХ ТОЧКАХ

Цель исследований заключается в нахождении связи

между величинами углов отклонений органов управления само­лета (8Э, cf, 6Л) и теми изменениями параметров его движения —

углов атаки и скольжения а, (3 и проекций вектора угловой ско­рости со*, со,,, сог -— к которым приводят эти отклонения.

Изолированные продольное и боковое движения самолета характеризуются тем, что при отклонении рулей высоты и направ­ления на некоторые постоянные углы (q0, бп0) самолет изменяет соответственно угол атаки и скольжения на некоторую постоян­ную величину и начинает в полете поворачиваться относительно инерциального пространства с некоторой угловой скоростью (о>2, со,). В тех случаях, когда маневр рассматривается за короткий отрезок времени либо выполняется с большими перегрузками, влиянием силы тяжести на движение относительно центра масс можно пренебречь и предельные значения угловых скоростей самолета считать постоянными величинами. Такие установив­шиеся предельные условия полета соответствуют особым точкам уравнений движения самолета с опущенными гравитационными членами. Благодаря такой связи между отклонениями органов управления и параметрами движения исследование динамики са­молета, когда маневр выполняется путем отклонения рулей в раз­личных комбинациях на некоторые постоянные углы, может быть проведено наиболее полно и наглядно с использованием методов и терминологии качественной теории дифференциальных уравне­ний.

Когда вопрос о связи между отклонениями рулей управления и изменениями параметров движения решался в предположении малости таких изменений, а динамика самолета описывалась си­стемой линейных дифференциальных уравнений ответ на него был достаточно прост. Методы анализа таких движений подробно излагаются в обширной литературе по динамике самолета (см., например [13]). Результаты этих исследований (для тех случаев, когда влиянием гравитационных членов можно пренебречь) сво­дятся к трем основным пунктам.

1. Реакция самолета на отклонение руля высоты (q) не за­висит от отклонений элеронов и руля направления. Аналогично реакция самолета на отклонение элеронов и руля направ­ления не зависит от отклонений руля высоты. Иными словами, продольное и боковое управляемые движения самолета яв­ляются независимыми при~ малых изменениях параметров дви­жения.

2. Величины установившихся значений углов атаки и сколь­жения, а также проекции на связанные оси вектора угловой

скорости (со*, со,, со2) являются однозначными функциями значе­ния всех параметров движения и не зависят от начальных усло­вий и последовательности отклонений органов управления и являются единственно возможными при данном отклонении рулей.

3. Зависимость параметров возмущенного движения^ самоле­та от величин отклонений органов управления в случае ли­нейных аэродинамических характеристик имеет линейный ха­рактер.

При анализе пространственных движений, сопровождающихся энергичным кренением, строго говоря, ни один из этих выводов не сохраняется. В первую очередь это относится к тем маневрам, при которых производятся одновременные энергичные отклонения элеронов и руля высоты. Далее будет показано, что изменения всех параметров движения самолета при таких маневрах взаимо­связаны. Более того, величины предельных установившихся зна­чении углов атаки и скольжения и проекций вектора угловой

скорости (со*, соу, coz) являются неоднозначными функциями откло­нений органов управления. Математически это означает, что для каждой комбинации отклонений органов управления имеется несколько особых точек системы уравнений движения. Во всех этих случаях линейный характер зависимости угловой скорости крена от величины отклонения элеронов нару­шается.

В задачах исследования движений, описываемых нелиней­ными уравнениями, можно выделить несколько основных вопро­сов, которые для упрощения проблемы целесообразно рассматри­вать последовательно.

1. Нахождение всех возможных комбинаций установившихся значений параметров движения, т. е. нахождение всего комплекса особых точек, соответствующих заданным значениям возмущений, отклонении органов управления и т. д.

2. Исследование вида движения в окрестности каждой особой точки и его устойчивости (движение «в малом»).

3. Исследование движения во всем фазовом пространстве (движение «в большом»).

В настоящем параграфе рассмотрим первую часть общей за­дачи исследования фазовой картины движения самолета, а именно определим зависимость значений параметров движения в особых точках от величин отклонений органов управления. Знание таких зависимостей позволяет для любой комбинации отклонений орга­нов управления определить координаты всех особых точек, т. е. все возможные значения «точек покоя» — «статические решения».

Начнем вывод соотношений для нахождения особых точек в предположении, что все аэродинамические силы и моменты могут быть представлены в виде линейных функций параметров движе­ния. Для движения самолета с большими углами атаки и сколь­жения такое предположение несправедливо и методика нуждается в уточнении.

Перейдем к нахождению значений параметров движения в осо­бых точках. Для этого предварительно перепишем систему урав­нений (2.14) в удобном для анализа виде:

а’ = jlico2————————— 4-а — jl< ра>Л. — Де/,

й’г = rn%a + mZKб сог — A[i йхйу + Дга2;

Р’ = рсо^ -)—Р + ^ (а — j — qг) °>* + &cz (9.1)

coy = га£(3 + ЩУ(ЬУ + £рш* со2 + Дт^; со; == — f — га**со* — Срсо^ш2 — f Шх.

Для нахождения координат особых точек в фазовом простран­стве необходимо найти все решения для параметров движения, удовлетворяющие нелинейной системе алгебраических уравнений, полученной после приравнивания всех производных нулю. В тех случаях, когда аэродинамические коэффициенты являются линейными функциями своих аргументов, система алгебраических уравнений может быть легко решена с помощью следующего приема. Если рассматривать четыре первых алгебраических урав­нения, то видно, что нелинейные члены этих уравнений являются

функцией величины соЛ Если принять величину со* в качестве параметра, то можно найти зависимости остальных переменных движения от отклонений органов управления и величины этого

параметра (со*). Найденные таким образом функции от со* можно подставить в последнее алгебраическое уравнение и с его помощью определить зависимость потребного отклонения элеронов для

обеспечения принятого значения параметра соЛ. Последнее нели­нейное уравнение проще всего решать графически. Такой прием позволяет свести задачу решения системы нелинейных уравне­ний к решению системы линейных уравнений и построению не­линейной функции от одной переменной.

Рассмотрим эту процедуру более подробно. Система алгебраи­ческих уравнений, полученная приравниванием производных нулю, в общем случае является неоднородной и может быть представлена в виде

2 СХст 1Ш2 ст — j — }1С0*Рст	&cy
^гб^ст Т” С02 ст /\іідхіду ст	—A thz
рС0ЛС6ст j 2 рст f МС0^ст—	рсо«.фГ,
R (0 ^рС0*С02СТ ^f/Рст ftly’* (ду с? "	Am, у

77

	—т^э — 4~ ^г?^осстрст tnx ‘
	4“ ҐПх У(х)у ст 4~ ст • СТ 4“ тх бн,	(9.3)
где	cf C6za А Су —- 2 j A cz 2 бці	(9.4)
	Атг = mlг, ф; Ати = туаЬ„ + т/бэ.

и дополнительного уравнения:

Если рассматривать соЛ. как параметр, значения которого мо­гут задаваться произвольным образом, то видно, что в правые части системы алгебраических уравнений (9.2) входят члены, зависящие от этого параметра и от величин отклонений органов управления (ф, 6Н, 60), а также угла (фг) между главной осью инерции и осью ОХ самолета. При непрерывном изменении ве­личины какого-либо из параметров управления в правых частях уравнений получаем зависимости координат особых точек в функ­ции соответствующего параметра.

Из системы алгебраических уравнений (9.2) следует, что пара­метры движения в особых точках зависят линейно от величин отклонений стабилизатора и руля направления, а коэффициенты пропорциональности являются некоторыми функциями величины угловой скорости крена. Такая линейная зависимость позволяет представить значения параметров движения в особых точках, которые будут обозначаться индексом «ст» (статическое решение), в следующем виде:

— A———— „tO,. Л(0 —

W*/CT ~ ^mz Z Фг ^my — j- • • •

Все формулы для величин Ла, Аи)гу А^ А^у сведены в табл. 9.1. Формулы, приведенные в табл. 9.1, получаются путем решения неоднородной системы алгебраических уравнений (9.2).

Решение для t-й переменной, как известно из линейной алгебры, находится по формуле

где Д0 — характеристический определитель системы уравнений, а А і — определитель, составленный из тех же элементов, в ко­тором і й столбец заменен столбцом правых частей.

www. vokb-la. spb. ru — Самолёт своими руками
Таблица 9.1
лР	л°*
АСС
АСОг
re С2 uB <n — f — mz6—
‘ (ц3ш3 ЛВ + л“»рй*т“з +
2Лі
2А(
2А
2Ло
Ac,
+ ц2Вйхт“б)
+ 1«0хт*б
ц3Вю3 + Ц сохтР
_a С,. f — 9— —СО,, -|-ц2Вй)х — нХт/
I Ло
17 (-и-t-*“ї + »1«*в+р*™р
Am.
СР са г,— Z У цВ0)х -7
,а
^СОзс
«о
ca + тРЛцюж-|- j
+ ц2102Вт“б + цтРт“б
1 / 3-3 — n — Cl)-. CO, 2Л7 (— и — х(і>хтуУтгб
2Л0
2Л(
Дс:
са + т»цА<ох-£- 1
+ ц2о)2Вт“б + цтРт“б
77 и3“®Л + М2й)хт“б-
Ао
Am,
ГР 7/ С2
+ |х3 Лй2 + (і2 /я“б
(Liv4co
СОдс
,а
ca // z
26
W2 (.
c-fB~ "h, y
+ со
Л0 = ;7І
А(дхЦ	(iiBco2
+

 

Из самого способа получения уравнений (9.2) путем прирав­нивания нулю производных следует, что выполняется равенство

До “ Л0,

где коэффициент Л0 является свободным членом характеристиче­ского уравнения (5.6), полученного при исследовании устойчиво­сти установившегося вращения самолета по крену.

Первое, что необходимо отметить в соотношениях (9.5) — свойство суперпозиции решений, полученных для различных возмущений, входящих в правые части уравнений (9.2). Это свойство обусловлено тем, что в рассматриваемой постановке для линейных аэродинамических коэффициентов при ых = const алгеб­раические уравнения (9.2) оказываются линейными и, следова­тельно, всякое решение может быть представлено в виде суммы решений в функции каждого отдельного возмущения. В общем случае нелинейных аэродинамических коэффициентов (например,

при зависимостях вида т4 (а), щ (а) и т. д.) это свойство не будет выполняться.

Каждый из коэффициентов Аа> и т. д. представляет собой отношение некоторого полинома по степеням йх к свободному члену характеристического уравнения А0. Коэффициент Л0 (см. § 6) может обращаться в нуль на границах областей устойчивости движения самолета при вращении с cov = const, и таких значе­ний угловой скорости крена обычно два. Из формул табл. 9.1 следует, что при этих значениях угловой скорости крена все функ­ции Ла, Л°Ч Л», А^у неограниченно возрастают и при переходе через критическую угловую скорость крена терпят разрыв и из­меняют знак.

Физический смысл возрастания коэффициентов пропорциональ­ности Аа, A^z ит. д. при приближении к критической скорости можно пояснить с помощью следующих рассуждений. Уменьшение величины Л0 (cov) означает понижение степени устойчивости движения самолета. Поскольку величина возмущения сохраняется (постоянное отклонение органов управления), то реакция само­лета на это возмущение при уменьшении степени устойчивости возрастает и при критических скоростях крена, когда самолет уже не обладает устойчивостью, это возмущение приводит к не­ограниченному росту всех параметров движения самолета. Ха­рактер зависимости основных слагаемых функций Аа, Л°Ч

Лр, А™у от угловой скорости крена иллюстрируется на рис. 9.1, 9.2.

Следует иметь в виду, что неограниченный рост параметров движения в особых точках при приближении к критическим ско­ростям крена обусловлен принятыми допущениями о малости

Рис. 9.1. Пример зависимости от со* весовых множителей величины управляю­щего момента А гпг

углов а и Р, когда тригонометрические функции были заменены первыми членами разложений в ряд Тейлора. В связи с этим количественные результаты соответствуют правильным решениям, только когда ( а |, р ) < 15 … 20 . При больших углах атаки обычно нарушаются и условия о постоянстве аэродинамических производных устойчивости (линейности зависимости от параметров движения).

Для полного определения значений параметров движения самолета в особых точках в зависимости от величин отклонений органов управления необходимо в функциональных зависимостях аст (со ), рст (соЛ.) и т. д. определить те конкретные значения со*, которые соответствуют рассматриваемым отклонениям рулей.

Рис. 9.2. Пример зависимости от со* весовых множителей величины управляю­щего момента N А ту

Для этого необходимо доопределить полученные зависимости параметров движения самолета от со* уравнением (9.3), позво­ляющим найти величину потребного отклонения элеронов, соот­ветствующую движению самолета с данными величинами со,

С&ст» ^2 СТ» Рст И (0Л: ст.

Поскольку все параметры движения, входящие в уравнение (9.3) — известные функции угловой скорости крена и величин отклонений органов управления, то величина Дтх (и соответ­ственно д3) легко может быть найдена. В общем случае, когда *>

ту ^ задача нахождения связи между бэ и соЛ несколько ус­ложняется. В этом случае с помощью зависимостей, приведенных

На рис. 9.3 приведены примеры зависимостей установившихся значений основных параметров движения самолета от угловой

скорости крена со*. Как для маневра крена, выполняемого из горизонтального полета аб > 0 так и для маневра крена, выпол­няемого из условия полета с отрицательной перегрузкой аб << 0. В обоих случаях Ату = 0.

Следует отметить, что кривые статических решений построены только для положительных значений угловой скорости крена

о)Л > 0. Из формул табл. 9.1 следует, что все функции А™у

явлются нечетными, а Аа и A^z — четными по со*.

Полученные зависимости параметров движения самолета от со* имеют особенности при «критических» значениях угловых скоро­стей крена (см. рис. 9.3). В этих точках все статические решения принимают бесконечно большие значения, откуда с учетом за­висимости (9.3) для самолета с ненулевой поперечной устойчи-

элеронов для создания таких угловых скоростей крена также бес­конечно большие.

С помощью зависимостей, аналогичных показанным на рис. 9.3, могут быть найдены значения параметров движения самолета в особых точках (координаты особых точек), соответствующие

Рис. 9.3. Пример зависимости величин параметров движения самолета точках от величины со* для исходных условий балансировки «б > О (А 1пу — Лгаг — 0)

в особых И ССб < 0

 

Рис. 9.4. Пример нахождения координат особых точек для движения самолета при отклонении органов продольного и поперечного управления (Атг0 > 0; А ітіхо ^ 0)

конкретным значениям величин, характеризующих управление самолетом (б э» Ф»

На рис. 9.4 приведена иллюстрация методики нахождения координат особых точек для случая, когда /?г^э6э = Дтл(). В рас­сматриваемом примере движение самолета характеризуется пятью особыми точками в фазовом пространстве. Напомним, что движе­ние в окрестности полученных особых точек реально может реали­зоваться только в случае, если оно соответствует апериодически устойчивому движению.

Аналогичная процедура нахождения координат особых точек может быть использована и в случае, когда аэродинамические характеристики самолета являются нелинейными функциями угла атаки и линейны по всем остальным параметрам движения. В этом случае формальная запись всех производных устойчивости сохра­нится в том же виде, только сами коэффициенты могут быть функ­циями угла атаки, за исключением только производной продоль-
ного момента т%а, вместо которой в уравнения войдет функ­ция га. б( а).

Для нахождения координат особых точек воспользуемся ме­тодом, весьма близким к рассмотренному ранее. Приняв со* =

= const, введя обозначение т% = т2б (а)1а и воспользовавшись формулами для статических решений (табл. 9.1), можно выписать решения для всех параметров движения самолета. Воспользовав­шись формулой для аСТ (со*) из табл. 9.1, получим уравнение для нахождения аст:

е&ст^О (^ст> ®дг) /і (е^ст> Є)*), (9*9)

где (аст, соА) — выражение в числителе формулы для нахож­дения аст.

Следует отметить, что произведение астЛ0 (аст, со*) не имеет особенностей по а в отличие от отношения mz (а)/а, которое могло иметь особенность при а = 0.

При каждом фиксированном значении со* = const нелиней­ное уравнение (9.9) может быть решено и найдены соответству­ющие значения аст, которых может быть несколько. Решая по­следовательно для всех значений со*, найдем зависимости а1ст (со*). Дальнейшее решение задачи осуществляется по методике, изло­женной ранее, поскольку при каждом значении (со*) аэроди­намические коэффициенты являются известными и могут быть использованы в формулах статических решений.

Проиллюстрируем применение изложенной ранее методики определения аст на примере частного случая, когда демпфирова­ние колебаний мало (получаемые далее соотношения являются приближенными для общего случая).

Из табл. 9.1 выпишем формулу для аст (со ), рассматривая только продольное управление Amz:

которое легко решается, например, графически.

Основной характеристикой, определяющей число особых точек при заданных величинах отклонений органов управления, яв­ляется функция Атх (со*, ср, 6Н). Действительно, с помощью этой функции для известных величин ср, 6Н, фг и бэ находятся

все значения угловой скорости крена со* в особых точках, которые

позволяют по формулам (9.5) определить и остальные параметры движения в этих особых точках. Более того, как это будет пока­зано в следующем параграфе, вид зависимости Amx = f (соЛ, бн, Ф> Фг) позволяет в целом ряде случаев оценить устойчивость движения в окрестности найденных особых точек, точнее, выявить особые точки с заведомо неустойчивым движением в их окрест­ности.

Можно выделить три основные области значений угловой

скорости крена со,, для каждой из которых характеристики дина­мики самолета имеют свои особенности. При движении с малыми угловыми скоростями крена, когда выполняется условие

|coJ<min(coa, wp), (9.12)

где знак min (соа, сор) означает меньшую из двух величину, дви­жение самолета близко к описываемому линейными дифферен­циальными уравнениями изолированного бокового и продольного движений. Вторым предельным случаем является быстрое вра­щение самолета относительно продольной оси с большой угловой скоростью крена. Такое движение по своим свойствам близко к вращению твердого тела, на которое не действуют аэродинамиче­ские моменты, поскольку при больших величинах СО*; основную роль играют гироскопические моменты. Угловую скорость крена можно считать большой, если она удовлетворяет условию

| о, | > max (ма, Ир), (9.13)

где знак шах (соа, сор) означает большую из двух величину.

Движение самолета имеет наиболее сложные характеристики при значениях угловых скоростей крена, близких к критическим скоростям, когда инерционные и аэродинамические моменты со­измеримы.